四探针原理：理想样品电阻率计算

当样品厚度和样品边缘到探针的距离远远大于探针间距的时候，可以认为被测样品为理想样品，也称半无界样品。丘山仪器四探针测量样品的最大样品尺寸为：150 mm ∗ 70 mm （直径 ∗ 厚度），并且具有0.1 µΩ ∼ 100 MΩ 的超宽测量范围，可涵盖绝大部分应用场景。

在这种半无界样品上由探针引入强度为 I 的点电流源，若材料均匀且各向同性，电流分布呈球对称，由此产生的等电位面为同心球面, 如图所示

点电流源在半无界样品产生同心球面等电位面示意图——技术咨询176-5252-0563

在距离点电流源中心 r 处的电场强度为

 E = jρ

 其中，E 为电场强度，j 为电流密度，ρ 为电阻率。距离点电流源 r 出的等电势面为半径为 r的半球面，因此其面积为 2πr²。所以，电场强度可以表示为

 E =Iρ/ 2πr²

 其中 I 为电流强度。在球面中，r 处的电场强度与电势的关系可以由下式表示

 E = −dψ/dr

 其中 ψ 为 r 处的电势。因此可以得出，

 dψ = −Edr = (−Iρ/2πr² )dr

 取无穷远处电势为零，可以得出 r 处的电势为

 ψ =lim( r-∞)(−Iρ/2πr² )dr = Iρ/2πr

 以上为点电流源在半无界样品上的电势与位置 r 的关系。

不规则位置四探针法电阻测量示意图

半无界样品上使用不规则位置四探针进行电阻测试示意图如图所示。点 1 和 4 分别为电流输入和输出探针的位置，点 2 和 3 为测量电压降探针位置。点 1 和 4 可以看作点电流源，因此点 2 和点 3的电势分别为

 ψ₂= Iρ/2π (1/r₁₂−1/r₂₄) 

 ψ₃= Iρ/2π (1/r₁₃−1/r₃₄)

 其中r₁₂，r₂₄，r₁₃，r₃₄ 分别为点 1 和 2，点 2和4，点1 和 3，以及点 3 和 4 之间的距离。

 因此，2 和 3 两点的电位差 V₂₃ 为

 V₂₃ =ψ₂ − ψ₃ =Iρ/2π (1/r₁₂−1/r₂₄−1/r₁₃+1/r₃₄)

由此导出电阻率表达式为

 ρ=V₂₃2π/I*1/ (1/r₁₂−1/r₂₄−1/r₁₃+1/r₃₄)

 通常情况下，四个探针等间距排列，丘山仪器四探针的探针头采用红宝石轴承引导碳化钨探针设计，经久耐用，探针间距为s，即r₁₂ = /r₃₄ = s,r₁₃ = r₂₄ = 2s。

 此时电阻率表达式可以简化为

 ρ =V₂₃ 2πs/I

 当 s = 1 mm 时，

 ρ = V₂₃2π /I(Ω · mm) ≈ 6.28 V₂₃/I(Ω · mm) = 0.628V₂₃/I(Ω · cm)

 V₂₃/I为欧姆表的测量结果，是四探针法测量的原始数据，方块电阻、电阻率、电导率等参数都由这一原始数据计算得到。

丘山仪器四探针配套 Smart FPP软件可以根据样品几何参数自动修正测量结果，轻松获得方阻、电阻率、电导率信息。丘山仪器扫描四探针、丘山仪器四探针电阻率测试仪均配备了这款软件。